Dạng toán tách một phân số thành tổng hai phân số có tử số là 1

Đây là một mẹo rất hay khi muốn viết một phân số bất kỳ (a,b là số tự nhiên và 0 < a < b) dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau. Mẹo này tôi cũng đã tiết lộ cho học sinh của mình. Song có những bài không cần giải theo mẹo ấy mà có cách giải nhanh hơn nhiều đấy. Chúng ta cùng bàn ở bài toán sau: Đây là một mẹo rất hay khi muốn viết một phân số bất kỳ (a,b là số tự nhiên và 0 < a < b) dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau. Mẹo này tôi cũng đã tiết lộ cho học sinh của mình. Song có những bài không cần giải theo mẹo ấy mà có cách giải nhanh hơn nhiều đấy. Chúng ta cùng bàn ở bài toán sau:


Bài toán1
:

Hãy viết phân số sau dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau.

a) 13/35 ;                    b) 5/12 ;                       c) 6/35
Bài giải:
a) 13/35 = (5 + 7 + 1)/35 = 5/35 + 7/35 + 1/35 == 1/7 + 1/5 + 1/35
b) 5/12 = (4 + 1)/12 = 4/12 + 1/12 = 1/3 + 1/12
c) 6/35 = (5 + 1)/35 = 5/35 + 1/35 = 1/7 + 1/35

* Lời bàn
: Tại sao ta lại tách:13=5+7+1; 5=4+1; 6=5+1 mà không tách thành tổng các số khác? Xuất phát từ tính chất phân số: Khi nhân (hoặc chia) cả tử và mẫu cho một số tự nhiên khác 0 ta được phân số có giá trị bằng phân số đã cho nên cần tách tử thành tổng các số là ước của mẫu.
Bài toán 2
:

Viết phân số 5/12 thành tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau.
* Lời bàn: Phân số đã cho có tử số là 1 vậy nó là tổng của các phân số nào có tử là 1, mẫu số khác nhau?Trên cơ sở phép giản phân:1/[a x (a +1)] = 1/a - 1/(a + 1) suy ra 1/a = 1/(a + 1) + 1/[a x (a + 1)]Vậy: 1/3 = 1/(3 + 1) + 1/[3 x (3 + 1)] = 1/4 + 1/12Như vậy nếu phân số đã cho có tử số khác 1 và mẫu số là số nguyên tố thì mới nên dùng “mẹo” như bạn đã nêu. Làm một ... biết mười. Nhưng biết mười vẫn chưa đủ. Có phải không các bạn?

 

Tuy nhiên, cho đến một hôm, tôi cũng đã “tiết lộ” mẹo này cho học sinh của mình, nhưng khi  tôi cho bài toán:
Tách phân số 3/10 thành tổng 2 phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau, có bao nhiêu cách tách như thế?

Chưa kịp nói gì thì một trò “cưng” của tôi đã nhanh tay tách:
3/10 = (2 + 1)/10 = 2/10 + 1/10 + 1/5 + 1/10 (nhờ nhận xét 10 chỉ có 2 ước số có tổng bằng 3 là 1 và 2). Do đó chỉ có 1 cách tách duy nhất (?) Một học sinh khác sau khi mày mò rụt rè thưa: Thưa cô! Hình như còn 2 phân số 1/4 và 1/20 khi cộng lại vẫn bằng 3/10 đấy ạ! Vậy thực tế có bao nhiêu cách tách phân số 3/10 thành tổng của 2 phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau? Các bạn có thể thấy qua cách lập luận dưới đây.
Giả sử: 3/10 = 1/x + 1/y (với x ≠ y và x, y khác 0)Do x ≠ y và bình đẳng nên ta giả sử x < y thì 1/x > 1/y . Ta có: 1/x < 3/10Mặt khác theo tính chất của trung bình cộng ta có:( 1/x + 1/y) : 2 < 1/x
nên 3/10 : 2 < 1/x , 3/20 < 1/x < 3/10Vậy: 3/20 < 3/(3.x) < 3/10 . Ta có:3.x = 12, 15, 18 suy ra x = 4, 5, 6.Thử các giá trị của x thì chỉ có x = 4, x = 5 thỏa mãn.Vậy bài toán chỉ đúng hai cách tách như trên.Lời bàn: Như vậy cách làm như TTT 16 chỉ áp dụng được khi tách một phân số a/b thành tổng hai phân số có tử số là 1 và mẫu số không lớn hơn mẫu số của phân số ban đầu. Đúng là học một ... biết mười. Nhưng biết mười quả thực vẫn chưa đủ ... phải không các bạn?

 

 


phamkhacl (sưu tầm và giới thiệu)



Pin It

________________________Source:tieuhocvn.info___________________

Top